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07 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布2

7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布

一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过.乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的.求乘客候车时间

不超过3分钟的概率.

解:设随机变量X 表示“乘客的候车时间”,则X 服从]5,0[上的均匀分布,其密度函数为

??

??∈=]5,0[,

0]

5,0[,1)(x x x f 于是有.6.05

3

)()30(3

===

≤≤?

dx x f X P

二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布,概率密度为

?????≤>=-.0,

0;0,8001)(800x x e x f x

任取3个这种电子元件,求至少有1个能使用1000h 以上的概率.

解:设A 表示“至少有1个电子元件能使用1000h 以上”;321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”.则

287.0800

1)1000()()()(4

5

10008001000800

321≈=-==>===-∞+-∞

+-?e e dx e X P A P A P A P x

x

)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=??=

638.0287.0287.03287.033

2≈+?-?=

(另解)设A 表示“至少有1个电子元件能使用1000h 以上”.则

287.0800

1)1000(4

51000

800

1000800

≈=-==>-

∞+-∞

+-?e

e dx e X P x

x

从而有713.01)1000(1)1000(4

5

≈-=>-=≤-

e

X P X P ,进一步有

638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P

三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe .证明:对于任意非负实数s 及t ,有

).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥

这个性质叫做指数分布的无记忆性.

(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(.

e .某人买了一台旧电视机,求还能使用5年以上 的概率.

解:(1)因为)(~λe X ,所以R x ∈?,有x

e x F λ--=1)(,其中)(x F 为X 的分布函数.

设t s X A +≥=,t X B ≥=.因为s 及t 都是非负实数,所以B A ?,从而A AB =.根据条件概率公式,我们有

)

(1)

(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥===

=≥+≥

t

s

t s e e e λλλ--+-=----=]

1[1]1[1)(. 另一方面,我们有

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